Главная Минимаркер Мосты и тоннели Минимаркер Теория упругости Минимаркер Условие совместимости деформаций в напряжениях

Условие совместимости деформаций в напряжениях

Имея выражение деформаций через напряжения, можно записать уравнения совместности деформаций в напряжениях. Напомним уравнения совместности деформаций:

17012014_f1

Циклической перестановкой индексов и переменных получаем 6 уравнений. Из формул закона Гука с учетом обозначений для σ0 получим:

17012014_f2

Подставляя εx, εy, γxy в уравнение:

17012014_f3

получим:

17012014_f4

Правая часть этого уравнения может быть преобразована с помощью уравнений равновесия. Из этих уравнений имеем:

17012014_f5

Дифференцируя первое из этих уравнений по Х, а второе по Y и складывая их, получим:

17012014_f6

Из третьего уравнения равновесия имеем

17012014_f7

Подставляя правую часть в уравнение (6.2) вместо скобки, получаем:

17012014_f8

Подставляем полученное выражение в формулу (6.1) и используем для упрощения оператор Лапласа1:

17012014_f9

Уравнение Лапласа: Δ(σ) = 0

Функция σ = σ(x,y,z), удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Тогда получим:

17012014_f10

Пользуясь циклической перестановкой, получим еще два соотношения:

17012014_f11

Складывая все три уравнения, получим:

17012014_f12

С учетом полученного соотношения уравнения (6.4) преобразуются к виду:

17012014_f13

Подобным образом преобразовываются и три остальных условия. После аналогичных преобразований, получим:

17012014_f14

Полученные условия совместности деформаций в напряжениях называются уравнениями Бельтрами - Митчелла. Заметим, что в краткой записи при отсутствии объемных сил уравнение Бельтрами - Митчелла примет вид:

17012014_f15

Это система 12-го порядка. Производя дифференцирование при ее выводе мы искусственно повысили ее порядок, поэтому не все решения этой системы являются решениями ТУ и, в частности, не обязательно удовлетворяют уравнениям равновесия. Например, σij = аijkxk. И наоборот, если решение удовлетворяет уравнениям равновесия, оно автоматически удовлетворяет уравнениям Бельтрами - Митчелла.

Решение задач теории упругости в перемещениях

Преобразуем основные уравнения: равновесия, закона Гука и граничные уравнения с помощью уравнений Коши, выражающих деформации через перемещения:

17012014_f16

Из уравнения закона Гука получим:

17012014_f17

Подставим εx, τxy, τxz в первое уравнение равновесия:

17012014_f18

Складывая, получим первое уравнение из условий равновесия

17012014_f19

Выражение в первой скобке преобразуем к виду:

17012014_f20

Обозначим, кроме того, оператор Лапласа над функцией u = u(x,y,z)

17012014_f21

Тогда уравнение (*) преобразуем к виду:

17012014_f22

Аналогичным образом можно получить и два других уравнения, но можно их получить просто круговой перестановкой (x, y, z) и (u, v, w):

17012014_f23

Полученные уравнения называют уравнениями Ляме2.

Граничные условия также можно записать через перемещения, используя уравнения Коши. В частности, первое уравнение примет вид:

17012014_f24

После несложных преобразований и круговой перестановки получим:

17012014_f25

Если продифференцировать уравнения Ляме: первое по x, второе по y, третье по z – и сложить, то в случае отсутствия объемных сил (X = 0, Y = 0, Z = 0)

17012014_f26

Или, используя оператор Лапласа, получим

17012014_f27

т. е. объемное расширение σ0 = σ0(x,y,z) является гармонической функцией.

При отсутствии объемных сил операция оператора Лапласа Δ( ) над каждым уравнением Ляме дает

17012014_f28

То есть компоненты упругого перемещения являются бигармоническими функциями.

Плоская задача теории упругости

Различают два вида плоской задачи: плоская деформация и плоское напряженное состояние. Плоская деформация реализуется при нагружении цилиндрических или призматических тел силами, перпендикулярными протяженной оси. Это может быть, например, тело плотины.

Тело плотины

Рис. 1

Вырезанная плоскостями, перпендикулярными оси тела, часть тела dz не изменяет свою толщину при нагружении. Перемещение всех точек тела происходит в плоскостях, перпендикулярных оси тела, то есть

17012014_f29

Обобщенный закон Гука в этом случае записывается в виде

17012014_f30

Из третьего уравнения следует: σz = μ(σх + σy). Отсюда закон Гука (физические уравнения) записывается в виде:

17012014_f31

Если объемной силой является, как обычно, только сила тяжести, то уравнения равновесия примут вид:

17012014_f32

Условия на контуре записываются в виде:

17012014_f33

Геометрические уравнения (Коши):

17012014_f34

Из уравнений неразрывности деформаций остается одно:

17012014_f35


© 2013 - 2017 Учебно-образовательный портал "Все лекции"
Материалы, представленные на страницах нашего сайта, созданы авторами сайта, присланы пользователями, взяты из открытых источников и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Все авторские права на материалы принадлежат их законным авторам.
Разработка сайта - Скобелев Алексей





Яндекс.Метрика