Главная Минимаркер Мосты и тоннели Минимаркер Теория упругости Минимаркер Теория напряжений

Теория напряжений

Рассмотрим теперь теорию напряжений. Теория напряжений является общей для всех разделов механики сплошной среды: теории упругости, теории пластичности и теории ползучести.

Покажем, что табличка напряжений, которую мы назвали тензором напряжений, полностью характеризует напряженное состояние в точке. Для этого выразим полное напряжение на произвольной площадке через составляющие тензора напряжений.

Сформулируем правила знаков для составляющих тензора напряжений.

  1. Нормальные напряжения положительны, если их направление совпадает с направлением внешней нормали;
  2. Касательные напряжения будем считать положительными, когда они направлены по осям координат на площадках с внешней нормалью, направленной по оси координат, и когда они направлены против направления осей координат на площадках с внешней нормалью, направленной против направления оси координат.

А. Рассмотрим напряжения на площадке dA, расположенной наклонно к координатным осям x, y и z c единичными векторами (ортами) i, j и k под углами α, β и γ соответственно. Обозначим направляющие косинусы нормали

15012014_f1

Тогда единичный вектор (орт) нормали n выражается через орты ортогональных осей

15012014_f2

Отметим, что

15012014_f3

Напряжение на площадке

Рис. 1

Приложим к площадке АВС полное напряжение р (рис. 1б). Можно найти проекции этого вектора на нормаль () и на плоскость площадки ABC (). Можно записать:

15012014_f4

С другой стороны, вектор р можно выразить через проекции на оси координат:

15012014_f5

Проекции рх, ру, pz определим из условий равновесия тетраэдра через известные напряжения на его гранях.

Если площадь наклонной площадки АВС равна dA, то площади остальных граней тетраэдра будут равны:

  • площадь грани ОВС = ldA;
  • площадь грани OAC = mdA;
  • площадь грани OAB = ndA.

Например, так как OD = DC*cosγ, получим (рис. 2):

15012014_f6

Площадка №1

Рис. 2

Следует отметить, что все грани тетраэдра расположены внутри тела, кроме грани АВС, являющейся участком поверхности тела (рис. 3).

Площадка №2

Рис. 3

Напряжения, действующие на всех гранях тетраэдра, показаны на рис. 4.

Площадка №3

Рис. 4

Составим уравнения равновесия тетраэдра, проецируя все силы, действующие на его гранях, на оси координат и приравнивая суммы сил нулю. Спроецируем все силы на ось 0X (рис. 5).

Площадка №4

Рис. 5

Силы получаем, умножая напряжения на площадь соответствующей грани. Уравнение равновесия принимает вид

15012014_f7

и после деления на dA получим:

15012014_f8

Аналогично можно получить два остальных уравнения:

15012014_f9

Поскольку тетраэдр можно рассматривать как граничный элемент, эти уравнения называют граничными условиями или условиями на контуре тела.

Для того чтобы воспользоваться краткой записью, введем цифровые обозначения индексов и обозначим l = ν1, m = ν2, n = ν3. Тогда система уравнений (2.1) запишется в виде:

15012014_f10

В краткой записи:

15012014_f11

Таким образом, мы получили выражение полного напряжения p на любой элементарной площадке через компоненты тензора напряжений σij.

Б. Рассмотрим теперь площадку, на которой направление полного напряжения совпадает с направлением нормали p = pν.

Тогда касательные напряжения на этой площадке будут отсутствовать, т. к. pτ = 0. Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными, и нормальные напряжения на этих площадках называют главными. Найдем значения главных напряжений.

Так как p = pν, составляющие полного напряжения рх, ру, pz выражаются через направляющие косинусы нормали. Поскольку рх = pl, ру = pm, pz = pn, уравнения (2.1) записываются в виде

15012014_f12

Соотношения (2.2) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных l, m и п. Правые части равны нулю, т. е. это система однородная с определителем

15012014_f13

Из теории СЛАУ известно, что однородная СЛАУ имеет ненулевое решение в том и только в том случае, когда определитель системы равен нулю. Мы знаем, что

15012014_f14

Следовательно, решение заведомо ненулевое и Δ = 0.

Раскрывая определитель и приравнивая его нулю, получим

15012014_f15

После преобразований получим

15012014_f16

Здесь принято условие симметрии касательных напряжений

15012014_f17

Поскольку кубическое уравнение имеет три корня (p1, p2 и p3) и вследствие симметрии определителя (2.2а) все они действительные, можно записать:

15012014_f18

Раскрывая скобки, получим:

15012014_f19

Сопоставляя (2.3) и (2.3а), видим, что при любом выборе системы координат для площадок, на которых полное напряжение направлено по нормали, выполняются равенства:

15012014_f20

Величины, которые не изменяются с изменением системы координат, называют инвариантами. Расположим корни уравнения (2.3) в порядке

15012014_f21

и обозначим p1 = σ1, p2 = σ2, p3 = σ3.

Решая два уравнения системы (2.2) с уравнением (2.2б) относительно неизвестных направляющих косинусов нормали l, т, п для каждого значения σ1, σ2 и σ3, можно показать, что главные напряжения являются экстремальными и взаимно перпендикулярными.

Итак, назовем главной площадку, на которой отсутствуют касательные напряжения. Нормальное напряжение на этой площадке совпадает с полным и называется главным. Главные напряжения в любой точке тела не зависят от выбора системы координат и являются постоянными величинами.

В. Вернемся к соотношениям (2.1), дающим составляющие полного напряжения на произвольной площадке. Это напряжение, вообще говоря, не направлено по нормали ν к площадке. Можно записать

15012014_f22

Нормальная составляющая полного напряжения равна

15012014_f23

Подставляя значения рх, ру, pz из уравнений (2.1), получим

15012014_f24

Касательная составляющая полного напряжения на этой площадке равна

15012014_f25

Формулы для напряжений, действующих на наклонных площадках, нормали к которым совпадают с осями х1, у1, z1 системы координат, повернутой по отношению к исходной, записываются аналогично.

Таблица 1

15012014_t1

Если направляющие косинусы осей х1, у1, z1 обозначить так, как они показаны в таблице 1, то компоненты тензора напряжений из соотношения (2.5) в новой системе координат запишутся в виде:

15012014_f26

После преобразований получим:

15012014_f27

Если системы координат ортогональны, то выполняются следующие соотношения:

15012014_f28

Из соотношений (2.6) и (2.7) также следует равенство

15012014_f29

то есть сумма нормальных напряжений является инвариантом системы координат. Если воспользоваться краткой записью, обозначив оси координат х1, x2, x3, тензор напряжений

15012014_f30

и направляющие косинусы углов между осями новой (хiʹ) и старой (хj) системы координат

15012014_f31

то соотношения (2.6) можно записать в виде:

15012014_f32

где индексы i, j - сквозные, а к, l - внутренние и по ним идет суммирование при ij, к, l = 1, 2, 3. Сравнивая полученное выражение с определением тензора, данным в предыдущей лекции (Общие сведения о теории упругости), видим, что напряжения σij являются тензором второго ранга в трехмерном пространстве.

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров: шарового тензора, компоненты которого изменяют объем элемента, и тензора-девиатора, компоненты которого изменяют форму элемента.

15012014_f33

где σ0 = (σ11 + σ22 + σ33)/3 — среднее напряжение.

Если оси координат направить по направлениям главных напряжений,

то касательные напряжения равны нулю (τxy = τxz = τyz = 0), нормальные напряжения равны главным (σx = σ1, σy = σ2, σz = σ3), и напряжения в произвольной системе координат х1, у1, z1 выражаются через главные напряжения в виде:

15012014_f34

Из уравнений (2.7) и (2.8) можно определить косинусы углов наклона (l1, m1, n1 и т. д.) главных площадок относительно произвольной системы координат х1, у1, z1 заполнив таблицу 1.

Выпишем граничные условия (2.1)

15012014_f35

Возьмем систему координат, в которой оси направлены по главным направлениям, т. е. совпадают с направлением σ1, σ2 и σ3. Тогда σx = σ1, σy = σ2, σz = σ3 и все τ = 0. И далее px = σ1l, py = σ2m, pz = σ3n.

Полное напряжение

Рис. 6 – Полное напряжение

Полное напряжение p (px, py, pz). Его проекция на нормаль ν(l,m,n) к площадке является скалярным произведением векторов ν и p:

15012014_f36

Рассмотрим в этой системе координат октаэдрическую площадку, равно наклоненную ко всем осям. Тогда

15012014_f37

Отсюда

15012014_f38

С другой стороны, p = pν + pτ, то есть pτ = p + pν. Тогда касательное напряжение на октаэдрической площадке

15012014_f39

После преобразования получим

15012014_f40

Вводят понятие интенсивности напряжений, которое определяют так, чтобы при одноосном напряженном состоянии оно было равно σ1:

15012014_f41

В другой форме интенсивность напряжений определяют через второй

инвариант тензора девиатора:

15012014_f42

Интенсивность напряжений определяют как

15012014_f43

На главных площадках, где τxy = τxz = τyz = 0, σx = σ1, σy = σ2, σz = σ3, эта формула дает нам формулу (3.2).

Рассмотрим теперь площадку, параллельную главному напряжению σ2 и наклоненную под углом 45° к главным напряжениям σ1 и σ3.

Площадка параллельная напряжению

Рис. 7

Направляющие косинусы нормали к этой площадке

15012014_f44

Нормальное к этой площадке напряжение

15012014_f45

Полное напряжение на площадке

15012014_f46

Касательное напряжение

15012014_f47

Это касательное напряжение является максимальным, так как σ1 = σmax, а σ3 = σmin. Можно показать, что

15012014_f48

Частным случаем напряженного состояния является плоское напряженное состояние, при котором одна пара параллельных граней элементарного параллелепипеда свободна от напряжений.

Например: σz = τxz = τyz = 0 .

В этом случае тензор напряжений имеет вид

15012014_f48

Пример площадки

Рис. 8

Соответствующая табличка направляющих косинусов для системы координат х1, у1, повернутой на угол xxi = α, записывается в виде

15012014_t2

Здесь xx1 = α, xyi = 90° + α, yxi = 90° - α, yyi = α и табличка принимает вид

15012014_t3

Получим:

15012014_f49

По формулам (2.6) нормальное и касательное напряжения на этой площадке равны

15012014_f50

Чтобы определить положение главных площадок, т. е. площадок, на которых отсутствуют касательные напряжения, положим τх1у1 = 0 и найдем угол α0.

15012014_f51

Используем соотношения:

15012014_f52

Подставляя выражение для sin2α0 и cos2α0 в первое уравнение (3.5), получим главные напряжения на главных площадках

15012014_f53

При линейном или одноосном напряженном состоянии две пары параллельных граней параллелепипеда свободны от напряжений, а на одной паре граней действует нормальное напряжение σx = σ и неравно 0. На площадке, наклоненной под углом α, имеем

15012014_f54


© 2013 - 2017 Учебно-образовательный портал "Все лекции"
Материалы, представленные на страницах нашего сайта, созданы авторами сайта, присланы пользователями, взяты из открытых источников и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Все авторские права на материалы принадлежат их законным авторам.
Разработка сайта - Скобелев Алексей





Яндекс.Метрика