Главная Минимаркер Мосты и тоннели Минимаркер Теория упругости Минимаркер Теория деформаций

Теория деформаций

При рассмотрении деформаций упругого тела будем предполагать, что движение тела как жесткого целого невозможно, в силу чего при перемещении частиц тела возникают его деформации. Пусть точка Р тела перемещается в точку Р1. Тогда вектор r = РР1 в декартовой системе координат имеет своими компонентами u, v, w параллельно координатным осям х, у и z соответственно.

Возьмем элементарный объем тела со сторонами dx, dy, dz и рассмотрим его деформирование при перемещении r(u, v, w).

Объем тела

Рис. 1

После деформирования отрезок PA = dx перейдет в P1A1 = (dx)1, PB = dy в P1B1 = (dy)1 и PC = dz в P1C1 = (dz)1. Рассмотрим полученные телом деформации на проекциях в плоскости XOY.

Проекция

Рис. 2

Здесь

16012014_f9

Из рисунка видно, что

16012014_f10

Аналогично имеем

16012014_f11

Отсюда деформации равны

16012014_f12

Из рисунка видно, что

16012014_f13

Тогда, поскольку синус и тангенс угла, взятого в радианах, равен углу, с точностью до бесконечно малых второго порядка получим

16012014_f14

Поскольку деформация угла B3P1A3 полностью характеризуется суммой углов А2P1A3 и B2P1В3, вводят величину

16012014_f15

Аналогично вводят величины

16012014_f16

Заметим, что вследствие равноправия осей координат в декартовой системе координат два последних соотношения получаются из первого циклической перестановкой индексов, переменных и функций.

Шесть величин εх, εу, εz, γxy, γxz, γyz называют компонентами деформации. Соотношения, связывающие деформации с перемещениями, называют формулами Коши:

16012014_f17

В краткой записи

16012014_f18

Положительные угловые деформации соответствуют уменьшению угла, а положительные линейные деформации соответствуют увеличению линейного размера. Компоненты деформации образуют тензор деформаций:

16012014_f19

Здесь γху = γух, γxz = γzx, γyz = γzy.

Формулы преобразования компонентов тензора деформаций при повороте координатных осей записываются аналогично соответствующим формулам для напряжений:

16012014_f20

В краткой записи, обозначая εх = ε11, εy = ε22, εz = ε33, γxy = ε12, γxz = ε13, γyz = ε23 и так далее, полученные соотношения можно записать в виде:

16012014_f21

Тензор деформаций так же, как и тензор напряжений, можно представить в виде суммы шарового тензора Тε° и тензора-девиатора Тε:

16012014_f22

где ε0 = (ε11 + ε22 + ε33)/3 = (εх + εy + εz)/3 – средняя деформация, характеризующая изменение объема θ кубика с ребрами, равными 1.

16012014_f23

В каждой точке существуют три взаимно ортогональные направления, которые называются главными осями. Вдоль этих направлений сдвиги отсутствуют, а соответствующие им линейные деформации называются главными. Их обозначают ε1 больше ε2, а ε2 больше ε3.

Октаэдрический сдвиг определяется выражением

16012014_f24

Интенсивность деформаций в произвольной системе координат XYZ

16012014_f25

или через главные деформации

16012014_f26

Условия совместности деформаций

Уравнения Коши определяют шесть компонентов деформации через три функции перемещений u = u(x,y,z), v = v(x,y,z), w = w(x,y,z). Таким образом, деформации не могут быть произвольными функциями координат точек тела и должны быть связаны между собой. Эту связь можно установить, исключая из уравнений Коши перемещения u, v, w.

Запишем снова уравнения Коши

16012014_f27

Чтобы выразить угловую деформацию γху через линейные деформации εx и εy, надо продифференцировать γху по х и по у. Тогда полученную величину можно записать в виде

16012014_f28

Действуя подобным образом с γxz и γyz (или используя циклическую перестановку), получим первую группу уравнений совместности деформаций:

16012014_f29

Для вывода второй группы уравнений образуем промежуточные соотношения, дифференцируя угловые деформации по х, у и z:

16012014_f30

Сложим два первых уравнения и вычтем из этой суммы третье:

16012014_f31

Полученное соотношение дифференцируем по z и, замечая, что

16012014_f32

получаем:

16012014_f33

Циклической перестановкой индексов и переменных получаем два остальных уравнения:

16012014_f34

Выведенные уравнения Сен-Венана называются уравнениями (или условиями) совместности (или неразрывности) деформаций.

Смысл этих названий состоит в следующем. Представим, что мы всё тело разбили на элементарные параллелепипеды - «кирпичики». Если в результате деформирования тела каждый «кирпичик» получит произвольные деформации, то очевидно, что из таких произвольно деформированных элементов нам не удастся собрать сплошное тело. Уравнения (4.6а) и (4.66) как раз и налагают ограничения на деформации, которые обеспечивают возможность «сборки» сплошного тела после деформирования. Перемещения u, v, w - непрерывные функции координат, однозначные в односвязной области. В многосвязной области (тор, пластина с отверстием) некоторые контуры стянуть в точку невозможно, и необходимо записать условие однозначности перемещений в виде

16012014_f35


© 2013 - 2017 Учебно-образовательный портал "Все лекции"
Материалы, представленные на страницах нашего сайта, созданы авторами сайта, присланы пользователями, взяты из открытых источников и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Все авторские права на материалы принадлежат их законным авторам.
Разработка сайта - Скобелев Алексей





Яндекс.Метрика