Главная Минимаркер Мосты и тоннели Минимаркер Теория упругости Минимаркер Общие сведения о теории упругости

Общие сведения о теории упругости

Теория упругости изучает напряжения и деформации упругих тел, возникающие под действием на них внешних сил (нагрузки).

Упругость – это способность тела, изменившего свою форму и размеры под нагрузкой, принимать исходные размеры и форму после снятия нагрузки. Если изменение размеров тела линейно зависит от нагрузки, то имеет место линейная упругость. Тело, обладающее этим свойством, называют идеально упругим. Материалы, обладающие идеальной упругостью – это сталь, чугун, алюминий, дерево, стекло. Если изменение размеров тела нелинейно зависит от нагрузки, то говорят о нелинейной упругости. Нелинейной упругостью обладает, например, резина. Мы будем изучать линейную теорию упругости.

Линейная и нелинейная упругость

Рис. 1 – Линейная (1) и нелинейная (2) упругость

Если в каждой точке свойства тела одинаковы во всех направлениях, то такое тело называют изотропным. С инженерной точностью изотропной можно считать сталь. Если в каждой точке свойства тела различны в разных направлениях, то такое тело называют анизотропным. Такими свойствами обладает дерево, которое имеет одни свойства вдоль волокон и другие – поперек волокон. Мы будем изучать линейную теорию упругости изотропных тел.

Дополнительно введем следующие ограничения:

  1. Материал тел является однородным, т. е. его свойства одинаковы во всех точках тела;
  2. Материал тел обладает сплошностью, т. е. деформирование тела происходит без разрывов;
  3. Рассматриваются только тела, деформации и перемещения которых под нагрузкой малы по сравнению с размерами тела.

Таким образом, из нашего рассмотрения выпадают проблемы устойчивости упругого равновесия, расчеты сильно изогнутых стержней и изгиб пластин и оболочек при прогибах, сопоставимых с толщиной оболочки. Эти задачи рассматривает геометрически нелинейная теория упругости.

Линейная теория упругости изучает внутренние силы, возникающие в идеально упругом теле под действием на него внешних сил.

Таким образом, силы подразделяются на внешние (силы взаимодействия разных тел) и внутренние (силы, возникающие между двумя смежными элементами внутри тела). Внешние силы бывают приложены в точке (сосредоточенные), по поверхности тела (поверхностные) и в каждой точке тела (объемные).

Рассмотрим тело, находящееся в равновесии под действием внешних сил F1, F2, …, Fn (рис. 2а). Между частями тела возникают внутренние силы взаимодействия, которые могут разрушить тело. Чтобы определить эти силы в интересующем нас сечении, мысленно расчленим тело на две части и, отбросив правую часть, заменим ее действие на оставшуюся часть равнодействующей силой Р (рис. 2б).

Тело и метод сечения данного тела

Рис. 2

Пусть ось OX направлена перпендикулярно нашему сечению. Тогда оси OY и OZ расположены в плоскости сечения. Проекция равнодействующей силы P на ось OX дает нам нормальную Px, а на оси OY и OZ – касательные Py и Pz составляющие этой силы.

В действительности сила P приложена не в точке, а неравномерно распределена по всему сечению. Интенсивность этой силы, то есть силу, действующую на единице площади, называют напряжением. Полное напряжение в точке определяют как предел отношения:

14012014_f1

Нормальное напряжение в точке определяют как предел отношения

14012014_f2

Касательные напряжения в точке определяют как пределы отношений

14012014_f3

Первый индекс при касательных напряжениях обозначает направление касательных напряжений, а второй индекс – ось, нормальную к грани, на которой действуют касательные напряжения. Вырежем мысленно в произвольной точке рассматриваемого сечения элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy и dz и рассмотрим напряжения, действующие на гранях этого параллелепипеда (рис. 3).

Напряжения на гранях элементарного параллелепипеда

Рис. 3 - Напряжения на гранях элементарного параллелепипеда

Тогда в каждой точке действуют напряжения, которые представляются матрицей, называемой тензором напряжений.

14012014_f4

Ясно, что составляющие тензора напряжений зависят от выбора системы координат.

Через составляющие тензора напряжений можно найти так называемое эквивалентное напряжение 14012014_f5, которое не зависит от выбора системы координат. Эквивалентное напряжение можно сопоставить с характеристикой прочности материала, которая представляется допускаемым напряжением 14012014_f6.

Тогда условие прочности записывается в известном виде:

14012014_f7

Задача теории упругости заключается в наиболее точном определении составляющих тензора напряжений, а значит и эквивалентного напряжения 14012014_f8.

Обозначим схематично области применения различных теорий для описания напряженно-деформированного состояния деталей на диаграмме растяжения образца из мягкой стали до разрушения.

Области применения различных теорий

Рис. 4 – Области применения различных теорий: I – теория упругости, II – теория пластичности, III – механика разрушения

Если напряжения в расчетах получаются больше предела текучести (в современных обозначениях Rp), то их называют условно-упругими. Существуют методы, которые позволяют с помощью упругих решений изучать упруго-пластическое и пластическое состояние детали. Рассмотрим общую структуру теории упругости.

Структурная схема теории упругости

Рис. 6 – Структурная схема теории упругости

С 70-х годов в работах по теории упругости чаще всего используют современный математический аппарат. Формальный математический аппарат – это обозначения и формализация объектов и действий над ними. В теории упругости используют тензорное исчисление. Мы в нашем курсе будем использовать тензорное исчисление только как иллюстрацию краткой записи развернутых выражений. Для возможности краткой записи оси координат и индексы напряжений обозначаются не буквами, а числами.

14012014_f9

Ранг тензора – это число индексов при нем. Как будет показано в дальнейшем, тензор напряжений – это тензор второго ранга. По определению тензором второго ранга называют совокупность величин Aij, которые зависят от двух индексов и преобразуются при изменении системы координат по формулам

14012014_f10

Ранг тензора не связан с размерностью пространства! Размерность пространства определяется числом значений, которое принимает каждый индекс. Если i, j, k, l принимают значения 1, 2, 3, то тензор (*) определен в трехмерном пространстве. Правила свертывания-развертывания выражений: по внутренним (повторяющимся в одночлене) индексам k, l производится суммирование, а сквозные (повторяющиеся слева и справа) индексы i, j определяют число уравнений. Пример развертывания выражения (*) для значений i = 2, j = 3:

14012014_f11

Еще одно сокращение в записи – частные производные обозначаются индексом за запятой. Например:

14012014_f12

Тогда запись 14012014_f13 обозначает несколько соотношений:

14012014_f14

В дальнейшем мы убедимся, что табличка напряжений в точке является тензором второго ранга, т. е. удовлетворяет соотношениям (*) при изменении системы координат.


© 2013 - 2017 Учебно-образовательный портал "Все лекции"
Материалы, представленные на страницах нашего сайта, созданы авторами сайта, присланы пользователями, взяты из открытых источников и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Все авторские права на материалы принадлежат их законным авторам.
Разработка сайта - Скобелев Алексей





Яндекс.Метрика