Главная Минимаркер Мосты и тоннели Минимаркер Теория упругости Минимаркер Обобщенный закон Гука

Обобщенный закон Гука

Законом Гука обычно называют линейные соотношения между компонентами деформаций и компонентами напряжений.

Возьмем элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным осям, нагруженный нормальным напряжением σх, равномерно распределенным по двум противоположным граням (рис. 1). При этом σy = σz = τхy = τхz = τyz = 0.

Прямоугольный параллелепипед

Рис. 1

Вплоть до достижения предела пропорциональности относительное удлинение дается формулой

16012014_f36

где Е — модуль упругости при растяжении. Для стали Е = 2*105 МПа, поэтому деформации очень малы и измеряются в процентах или в 1*105 (в тензометрических приборах, измеряющих деформации).

Удлинение элемента в направлении оси х сопровождается его сужением в поперечном направлении, определяемом компонентами деформаций

16012014_f37

где μ – константа, называемая коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Для стали μ обычно принимается равным 0,25–0,3.

Если рассматриваемый элемент нагружен одновременно нормальными напряжениями σx, σy, σz, равномерно распределенными по его граням, то добавляются деформации

16012014_f38

Производя наложение компонент деформации, вызванных каждым из трех напряжений, получим соотношения

16012014_f39

Эти соотношения подтверждаются многочисленными экспериментами. Примененный метод наложения или суперпозиции для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами, является законным, пока деформации и напряжения малы и линейно зависят от приложенных сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела и малыми перемещениями точек приложения внешних сил и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела.

Стержень

Рис. 2

Следует отметить, что из малости перемещений еще не следует линейность соотношений между силами и деформациями. Так, например, в сжатом силами Q стержне, нагруженном дополнительно поперечной силой Р, даже при малом прогибе δ возникает дополнительный момент М = , который делает задачу нелинейной. В таких случаях полные прогибы не являются линейными функциями усилий и не могут быть получены с помощью простого наложения (суперпозиции).

Экспериментально установлено, что если касательные напряжения действуют по всем граням элемента, то искажение соответствующего угла зависит только от соответствующих компонентов касательного напряжения.

16012014_f40

Константа G называется модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига.

Общий случай деформации элемента от действия на него трех нормальных и трех касательных компонентов напряжений можно получить с помощью наложения: на три линейные деформации, определяемые выражениями (5.2а), накладываются три деформации сдвига, определяемые соотношениями (5.2б). Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют связь между компонентами деформаций и напряжений и называются обобщенным законом Гука. Покажем теперь, что модуль сдвига G выражается через модуль упругости при растяжении Е и коэффициент Пуассона μ. Для этого рассмотрим частный случай, когда σх = σ, σy = –σ и σz = 0.

Вырежем элемент abcd плоскостями, параллельными оси z и наклоненными под углом 45° к осям х и у (рис. 3). Как следует из условий равновесия элемента 0, нормальные напряжения σv на всех гранях элемента abcd равны нулю, а касательные напряжения равны

Частный случай

Рис. 3

Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Из уравнений (5.2а) следует, что

16012014_f41

то есть удлинение горизонтального элемента 0c равно укорочению вертикального элемента 0b: εy = –εx.

Угол между гранями аb и bc изменяется, и соответствующую величину деформации сдвига γ можно найти из треугольника 0:

16012014_f42

Отсюда следует, что

16012014_f43

и при малых γ получим

16012014_f44

Отсюда 16012014_f45 и, следовательно, 16012014_f46

Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют компоненты деформаций через компоненты напряжений. Выведем обратные соотношения - напряжения через деформации.

Складывая уравнения (5.2а) и используя обозначения

16012014_f47

получаем зависимость между средней деформацией и средним напряжением

16012014_f48

Поскольку Зε0 равно объемному расширению, величину 16012014_f49 называют модулем объемного расширения. Используя соотношения (5.4) и решая уравнения (5.2а) относительно σх, σу, σz, получим

16012014_f50

Если учесть, что 16012014_f51, то закон Гука запишется в виде

16012014_f52

Тогда соотношения (4.11) можно записать в виде

16012014_f53

Если ввести символ Кронекера 16012014_f54, то закон Гука в краткой записи примет вид

16012014_f55


© 2013 - 2017 Учебно-образовательный портал "Все лекции"
Материалы, представленные на страницах нашего сайта, созданы авторами сайта, присланы пользователями, взяты из открытых источников и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Все авторские права на материалы принадлежат их законным авторам.
Разработка сайта - Скобелев Алексей





Яндекс.Метрика