Главная Минимаркер Мосты и тоннели Минимаркер Теория упругости Минимаркер Дифференциальные уравнения равновесия

Дифференциальные уравнения равновесия

Поскольку напряжения в теле не являются однородными, т. е. изменяются от точки к точке, то и в элементарном параллелепипеде со сторонами dx, dy, dz напряжения изменяются от грани к грани (рис. 1). Кроме того, в каждой точке тела действуют еще и объемные силы (X, Y, Z).

Параллелепипед

Рис. 1

Напряжения на видимых гранях параллелепипеда равны

16012014_f1

Циклическая перестановка (x, y, z) даст нам шесть соотношений, где  16012014_f2 – это главные линейные части приращения функций σх и τух при изменении координат х на dx. Умножив напряжения на площади соответствующих граней, а объемные силы на объем параллелепипеда, получим силы, действующие на параллелепипед. Проецируя все силы на ось х, получим уравнение равновесия:

16012014_f3

Подставляя вместо σхʹ, τхyʹ, τхzʹ их выражения (3.8), получим после преобразований

16012014_f4

Аналогичным образом, проецируя силы на оси y и z, получим еще два уравнения равновесия. Таким образом, получим:

16012014_f5

К полученным уравнениям равновесия сил надо добавить уравнения равновесия моментов. Будем определять моменты относительно центра тяжести С, в котором приложены объемные силы и через который проходят нормальные напряжения. Тогда моменты от объемных сил и нормальных напряжений будут равны нулю и в уравнения равновесия моментов войдут только касательные напряжения:

16012014_f6

Подставляя выражения для τyz* и τzy* и отбрасывая бесконечно малые более высокого порядка малости, придем к закону парности касательных напряжений τyz = τyz. Аналогично τxz = τzx, τxy = τyx. (3.10)

Этот закон действует только при предположении отсутствия объемного момента, а на гранях – моментных напряжений, т. е. в безмоментной теории упругости.

Кубик

Рис. 2

Из рис. 2 видно, что на плоскости XOY, в которую силой Р вдавливается кубик, касательные напряжения τxz = 0, а внутри этого полупространства под кубиком касательные напряжения τzx неравны 0 при сколь угодно близком подходе к ребру кубика. Такие задачи решает моментная теория упругости.

Для краткой записи дифференциальных уравнений равновесия снова используем запись тензора напряжений в виде σij. Тогда дифференциальные уравнения равновесия примут вид:

16012014_f7

и так далее. Первый индекс у σij сквозной, он же у Хi. Суммируя по повторяющимся индексам, получим

16012014_f8


© 2013 - 2017 Учебно-образовательный портал "Все лекции"
Материалы, представленные на страницах нашего сайта, созданы авторами сайта, присланы пользователями, взяты из открытых источников и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Все авторские права на материалы принадлежат их законным авторам.
Разработка сайта - Скобелев Алексей





Яндекс.Метрика